Πανελλήνιες 2022 – ΓΕΛ: Τα θέματα στα Μαθηματικά

Τα θέματα στα οποία εξετάστηκαν σήμερα οι απόφοιτοι των Γενικών Λυκείων που έδιναν Μαθηματικά.

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2022

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια
παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

• όλες οι συναρτήσεις της μορφής

G(x) F(x) c ,
όπου c , είναι παράγουσες της f στο Δ και

• κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή

G(x) F(x) c,

με c.

Μονάδες 7

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat.

Μονάδες 4
Α3. Πότε η ευθεία 0 x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η
πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν 0 1 τότε x
x
lim .

β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1)
και f (x) 0 , για όλα τα x (0,1), τότε f(0) f(1) .
γ) Η συνάρτηση f(x) x είναι παραγωγίσιμη στο
R {x x 0} 2 και ισχύει

2
1 f (x) .
x

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

δ) Ισχύει ότι
x 0
1 x lim 1
x.

ε) Αν

f(x) dx 0 , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι f(x) 0 , για κάθε
x [,].

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση f : ( ,1] με τύπο 4 2 f(x) x 2x 1 και η συνάρτηση
g : [0, ) με τύπο g(x) x .
Β1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση h fg.

Μονάδες 6
Β2. Αν 2 h(x) (x 1) , x [0,1] , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι “1 1”
(μονάδες 3) και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση 1 h της h (μονάδες
6).

Μονάδες 9

Β3. Έστω 1 h (x) 1 x, x [0,1].

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

1 h (x) , x [0,1) 1 x (x) 1 , x=1

2

(i) Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση ισχύουν οι υποθέσεις του
θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο [0,1] . (μονάδες 6)
(ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 x (0,1) τέτοιο ώστε
0 (x ) , όπου

6 2
. (μονάδες 4)
Μονάδες 10

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : η γραφική παράσταση της οποίας
διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Δίνεται ακόμα ότι η f είναι
παραγωγίσιμη στο ( , 1) ( 1, ) και για την παράγωγο f της f ισχύει
ότι:

2

2 , x 1 f (x) 3x 1 , x 1 .

Γ1. Να αποδείξετε ότι: 3

2x 2 , x 1 f(x) x x , x 1.

Μονάδες 6
Γ2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της
f σε σημείο 0 0 (x ,f(x )) με 0 x 1 , η οποία τέμνει τον άξονα y y στο 2.
Μονάδες 5
Γ3. Έστω y 2x 2 η εξίσωση της ευθείας (ε) του ερωτήματος Γ2. Ένα
σημείο M(x,y) με x 2 κινείται κατά μήκος της ευθείας (ε). Έστω ακόμα
Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΚΓ, όπου Κ είναι η προβολή του σημείου Μ
στον άξονα x x

και Γ είναι το σημείο με συντεταγμένες (2,0). Τη χρονική
στιγμή 0t κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο Β(3,4) ο
ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου M είναι 2 μονάδες ανά
δευτερόλεπτο. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε τη χρονική
στιγμή 0t .

Μονάδες 6

Γ4. Να υπολογίσετε το όριο

3 x
f(x) f( x) lim
f(x) 1 x.

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f : 0, με τύπο:
f(x) x ln(3x)

Δ1. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες 1 2 x ,x , με
1 2 x 1x . (μονάδες 6)
ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. (μονάδες 2)
Μονάδες 8

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

Στα παρακάτω ερωτήματα, 1 x και 2 x είναι οι ρίζες που αναφέρονται στο
ερώτημα Δ1.
Δ2. Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f και τον άξονα x x, να αποδείξετε ότι:

2 11 2
1 E (x x )(x x 2) 2 .

Μονάδες 7

Δ3. Να αποδείξετε ότι: 1 f(2 x ) 0.

Μονάδες 4
Δ4. Να εξετάσετε αν η εξίσωση: 2f(x) ln3 1 f (x )(x x ) 2 2 έχει λύση.
Μονάδες 6

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)

1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο
   εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην
   αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το
   εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να
   μη γράψετε πουθενά αλλού στο τετράδιό σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
   αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν
   θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να
   παραδώσετε μαζί μ ε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο
   με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο α ν το
   ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κ.λπ.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.